Syllogismus

"haben" ist ein zweistelliges Prädikat und hat in einem Syllogismus nichts zu suchen, denn hier sind die einzig zugelassene Kopulae "ist" bzw. "sind".

Friedrich Ludwig Gottlob Frege (* 8. November 1848 in Wismar; † 26. Juli 1925 in Bad Kleinen) war ein deutscher Logiker, Mathematiker und Philosoph.Nachdem die durch Aristoteles begründete nichtformale Syllogistik mehr als 2.000 Jahre lang als die exakteste Form logischen Schließens gegolten hatte, begann mit Freges revolutionärer „Begriffsschrift“ aus dem Jahre 1879 eine neue Ära in der Geschichte der Logik. In dieser Publikation entwickelte er eine neue Logik in axiomatischer Form, die bereits den Kernbestand der modernen formalen Logik umfasste, nämlich eine Prädikatenlogik zweiter Stufe mit Identitätsbegriff. Frege war neben George Boole und Ernst Schröder einer derjenigen Logiker des 19. Jahrhunderts, die durch die Verbesserung der Logik den Grundstein für die Erforschung der Grundlagen der Mathematik legten. Die Begriffsschrift wurde 1879 mit dem Untertitel „Eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens“ veröffentlicht und gilt allgemein als die wichtigste Veröffentlichung im Bereich der Logik seit Aristoteles' Organon.

Frege gelang in diesem Buch zum ersten Mal eine Formalisierung der klassischen Prädikatenlogik und damit die erste Formalisierung einer Logik, in der sich ein hinreichend großer Teil der Mathematik, aber auch der natürlichen Sprache ausdrücken ließ. Gemeinsam mit George Booles Mathematical Analysis of Logic von 1847 markiert die Begriffsschrift deshalb den Beginn der modernen formalen Logik. Die Bezeichnung Begriffsschrift wird auch für den von Frege definierten logischen Kalkül sowie für Freges logische Notation verwendet. Frege entwarf die Begriffsschrift zur Unterstützung seiner Forschung an den Grundlagen der Mathematik. Freges Kalkül führte erstmals den Allquantor sowie mehrstellige Prädikate (Relationen) ein.

Die Begriffsschrift war jedoch keineswegs ausschließlich für den Einsatz in der Mathematik vorgesehen. Im Gegenteil stellte Frege seine Schrift im Vorwort ausdrücklich in den Kontext der Leibnizschen Idee einer lingua characterica universalis, einer Universalsprache, die ein geordnetes System aller Begriffe nach mathematischem Vorbild darstellen sollte. Freges 1879 vorgelegte Schrift sollte das logische Herzstück einer solchen Universalsprache bilden.

Regeln für die Gültigkeit von Syllogismen Gültige Syllogismen haben bestimmte Eigenschaften hinsichtlich der Qualität, Quantität und Distribution der in ihnen vorkommenden Begriffe; zum Beispiel kann ein Syllogismus niemals gültig sein, wenn seine Prämissen partikuläre Aussagen sind, seine Konklusion aber eine allgemeine Aussage ist. Da in Abhängigkeit von der speziellen Interpretation unterschiedlich viele syllogistische Modi gültig sind, gibt es in der Tradition auch unterschiedliche Regelwerke. Im Folgenden werden die heute gängigsten Regeln dargestellt.Sie gehen in dieser einfachen Form auf das Spätmittelalter zurück und sind nicht Teil der antiken, aristotelischen Syllogistik.Das genannte Regelsystem ist der Einfachheit halber redundant, d. h. einige der Regeln lassen sich durch andere ausdrücken. Regeln der Qualität

   1. Mindestens eine der beiden Prämissen muss eine bejahende Aussage sein ( „allein aus verneinten Aussagen folgt nichts“).

Zum Beispiel kann aus den Prämissen „Kein Fisch ist Angler“ und „Einige Angler sind keine Fische“ syllogistisch keine Schlussfolgerung gezogen werden.

   2. Wenn beide Prämissen bejahend sind, dann muss auch die Konklusion bejahend sein (, „zwei bejahende Aussagen können keine verneinte Aussage erzeugen“).
   3. Wenn eine der beiden Prämissen verneinend ist, dann muss auch die Konklusion verneinend sein.

Regeln der Quantität

   1. Mindestens eine der beiden Prämissen muss eine allgemeine Aussage sein („nichts folgt jemals aus partikularen Aussagen“).

Aus den Prämissen „Einige Säugetiere leben im Wasser“ und „Einige Tiere, die auf dem Land leben, sind Säugetiere“ kann ebenfalls syllogistisch nicht geschlossen werden.

   2. Wenn eine der beiden Prämissen eine partikuläre Aussage ist, kann die Konklusion keine allgemeine Aussage sein.

Regeln der Distribution

   1. Der Mittelbegriff muss mindestens einmal distribuiert vorkommen.
   2. Wenn ein Begriff in der Konklusion distribuiert auftritt, muss er auch in einer Prämisse distribuiert auftreten.

Eine Aussage in einem Syllogismus, ein kategorisches Urteil, setzt immer zwei Begriffe in eine Beziehung. Dabei werden nur vier Typen von Urteilen bezüglich der Beziehung zwischen einem Subjekt (S) und einem Prädikat (P) betrachtet:

- A allgemein bejahendes Urteil alle S sind P (und es gibt tatsächlich S), P kommt allem S zu SaP - E allgemein verneinendes Urteil kein S ist P (und es gibt tatsächlich S), P kommt keinem S zu SeP - I partikulär bejahendes Urteil einige S sind P, P kommt einigem S zu, SiP - O partikulär verneinendes Urteil, einige S sind nicht P, P kommt einigem S nicht zu, SoP

Unter der Voraussetzung, dass ihre Subjekte keine leeren Begriffe sind, bestehen zwischen den unterschiedlichen Aussagentypen verschiedene Beziehungen:

- Zwei Aussagen bilden einen kontradiktorischen Gegensatz genau dann, wenn beide weder gleichzeitig wahr noch gleichzeitig falsch sein können, mit anderen Worten: Wenn beide unterschiedliche Wahrheitswerte haben müssen. Das wiederum ist genau dann der Fall, wenn die eine Aussage die Negation der anderen ist (und umgekehrt). Für die syllogistischen Aussagentypen trifft das kontradiktorische Verhältnis auf die Paare A–O und I–E zu. - Zwei Aussagen bilden einen konträren Gegensatz genau dann, wenn sie zwar nicht beide zugleich wahr, wohl aber beide falsch sein können. In der Syllogistik steht nur das Aussagenpaar A–E in konträrem Gegensatz. - Zwei Aussagen bilden einen subkonträren Gegensatz genau dann, wenn nicht beide zugleich falsch (wohl aber beide zugleich wahr) sein können. In der Syllogistik steht nur das Aussagenpaar I–O in subkonträrem Gegensatz. - Zwischen den Aussagetypen A und I einerseits und E und O andererseits besteht ein Folgerungszusammenhang (traditionell wird dieser Folgerungszusammenhang im logischen Quadrat Subalternation genannt): Aus A folgt I, d. h. wenn alle S P sind, dann gibt es auch tatsächlich S, die P sind; und aus E folgt O, d. h. wenn keine S P sind, dann gibt es tatsächlich S, die nicht P sind.

Die 24 gültigen Modi werden traditionell mit folgenden Merkwörtern bezeichnet: 1. Figur: Barbara, Celarent, Darii, Ferio, Barbari, Celaront 2. Figur: Baroco, Cesare, Camestres, Festino, Camestrop, Cesaro 3. Figur: Bocardo, Darapti, Datisi, Disamis, Felapton, Ferison 4. Figur: Bamalip, Calemes, Dimatis, Fesapo, Fresison, Calemop